- Βέλτιστη εκτίμηση χάρτη μεταφοράς σε χώρους γενικών συναρτήσεων(arXiv)
Συγγραφέας :Vincent Divol, Jonathan Niles-Weed, Aram-Alexandre Pooladian
Περίληψη :Θεωρούμε το πρόβλημα της εκτίμησης του βέλτιστου χάρτη μεταφοράς μεταξύ μιας (σταθερής) κατανομής πηγής P και μιας άγνωστης κατανομής στόχου Q, με βάση δείγματα από το Q. Η εκτίμηση τέτοιων βέλτιστων χαρτών μεταφοράς γίνεται όλο και περισσότερο σχετικές σε σύγχρονες στατιστικές εφαρμογές, όπως η γενετική μοντελοποίηση. Προς το παρόν, τα ποσοστά εκτίμησης είναι γνωστά μόνο σε λίγες ρυθμίσεις (π.χ. όταν το P και το Q έχουν πυκνότητες οριοθετημένες πάνω και κάτω και όταν ο χάρτης μεταφοράς βρίσκεται σε μια κατηγορία Hölder), οι οποίες συχνά δεν αντικατοπτρίζονται στην πράξη. Παρουσιάζουμε μια ενοποιημένη μεθοδολογία για τη λήψη ρυθμών εκτίμησης των βέλτιστων χαρτών μεταφοράς σε χώρους γενικής λειτουργίας. Οι υποθέσεις μας είναι σημαντικά πιο αδύναμες από αυτές που εμφανίζονται στη βιβλιογραφία: απαιτούμε μόνο το μέτρο της πηγής P να ικανοποιεί μια ανισότητα Poincaré και ότι ο βέλτιστος χάρτης είναι η κλίση μιας ομαλής κυρτής συνάρτησης που βρίσκεται σε ένα χώρο του οποίου η μετρική εντροπία μπορεί να ελεγχθεί. Ως ειδική περίπτωση, ανακτούμε γνωστούς ρυθμούς εκτίμησης για οριοθετημένες πυκνότητες και χάρτες μεταφοράς Hölder, αλλά λαμβάνουμε επίσης σχεδόν ευκρινή αποτελέσματα σε πολλές ρυθμίσεις που δεν καλύπτονται από προηγούμενη εργασία. Για παράδειγμα, παρέχουμε τους πρώτους στατιστικούς ρυθμούς εκτίμησης όταν το P είναι η κανονική κατανομή και ο χάρτης μεταφοράς δίνεται από ένα ρηχό νευρωνικό δίκτυο απεριόριστου πλάτους.
2. Θεωρήματα ορίων για χάρτες εντροπικών βέλτιστων μεταφορών και την απόκλιση Sinkhorn(arXiv)
Συγγραφέας :Ziv Goldfeld, Kengo Kato, Gabriel Rioux, Ritwik Sadhu
Περίληψη :Μελετούμε οριακά θεωρήματα για χάρτες εντροπικής βέλτιστης μεταφοράς (EOT), διπλά δυναμικά και την απόκλιση Sinkhorn. Το βασικό τεχνικό εργαλείο που χρησιμοποιούμε είναι μια ανάλυση διαφοροποίησης Hadamard πρώτης και δεύτερης τάξης των δυνατοτήτων του EOT σε σχέση με τις υποκείμενες κατανομές. Δεδομένων των αποτελεσμάτων διαφοροποίησης, η μέθοδος συναρτησιακής δέλτα χρησιμοποιείται για την απόκτηση κεντρικών οριακών θεωρημάτων για εμπειρικά δυναμικά EOT και χάρτες. Η μέθοδος λειτουργικού δέλτα δεύτερης τάξης αξιοποιείται για να καθορίσει την οριακή κατανομή της εμπειρικής απόκλισης Sinkhorn κάτω από το μηδέν. Με βάση το τελευταίο αποτέλεσμα, εξάγουμε περαιτέρω την κατανομή μηδενικού ορίου της στατιστικής δοκιμής ανεξαρτησίας Sinkhorn και χαρακτηρίζουμε τη σωστή σειρά. Δεδομένου ότι τα οριακά μας θεωρήματα απορρέουν από τη διαφοροποίηση Hadamard των σχετικών χαρτών, ως υποπροϊόν, λαμβάνουμε επίσης συνέπεια εκκίνησης και ασυμπτωτική αποτελεσματικότητα του εμπειρικού χάρτη EOT, των δυνατοτήτων και της απόκλισης Sinkhorn
